
% --------------------------------------------------------------
% This is all preamble stuff that you don't have to worry about.
% Head down to where it says "Start here"
% --------------------------------------------------------------

\documentclass[10pt, letterpaper]{article}

% --------------------------------------------------------------
% Package utf8 for normal characters please
% --------------------------------------------------------------
\usepackage[utf8]{inputenc}

% --------------------------------------------------------------
% Package setup for guillemets « » and non-breaking spaces
% see https://tex.stackexchange.com/questions/2681/guillemets-in-latex
% --------------------------------------------------------------
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{og=«, fg=»}
\usepackage[french=guillemets]{csquotes}
\usepackage{xspace}

% --------------------------------------------------------------
% Control paper size and margins
% --------------------------------------------------------------
\usepackage[margin=1in]{geometry} 

% --------------------------------------------------------------
% Make nice lists with letters and shit
% --------------------------------------------------------------
\usepackage{enumitem}

% --------------------------------------------------------------
% Make columns
% --------------------------------------------------------------
\usepackage{multicol}

% --------------------------------------------------------------
% Better tables
% --------------------------------------------------------------
\usepackage{tabularx}

% Math stuff
% --------------------------------------------------------------
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
 
\newenvironment{theorem}[2][Theorem]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
\newenvironment{lemma}[2][Lemma]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
\newenvironment{exercise}[2][Exercise]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
\newenvironment{problem}[2][Problem]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
\newenvironment{question}[2][Question]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}
\newenvironment{corollary}[2][Corollary]{\begin{trivlist}
\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}\hskip \labelsep {\bfseries #2.}]}{\end{trivlist}}

\newenvironment{solution}{\begin{proof}[Solution]}{\end{proof}}
 
\begin{document}
 
% --------------------------------------------------------------
%                         Start here
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\title{Devoir 3}
\author{Louis-Olivier Brassard\\
PHI1005 -- Logique 1}
\date{Automne 2019}

% maketitle génère automatiquement le titre
\maketitle

\section*{Question 1.}

Soient les 16 énoncés symboliques suivants :

\begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
    % 1.
    \item $p$
    % 2.
    \item $q$
    % 3.
    \item $\lnot p$
    % 4.
    \item $\lnot q$
    % 5.
    \item $p \land q$
    % 6.
    \item $\lnot p \land q$

    % 7.
    \item $p \land \lnot q$
    % 8.
    \item $\lnot p \land \lnot q$
    % 9.
    \item $p \land \lnot p$
    % 10.
    \item $\lnot p \lor q$
    % 11.
    \item $\lnot q \lor p$
    % 12.
    \item $\lnot p \land \lnot q$
    
    % 13.
    \item $p \lor \lnot p$
    % 14.
    \item $(p \lor q ) \lor (p \land q)$
    % 15.
    \item $(\lnot p \land q) \lor (p \land \lnot q)$
    % 16.
    \item $(p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)$

  \end{enumerate}
\end{multicols}

{Soit également le dictionnaire suivant :}

{$p$ : Facebook est ouvert;}

{$q$ : Instagram est ouvert.}

Associez à chacun des énoncés ci-dessous l’énoncé symbolique qui constitue sa traduction en logique propositionnelle.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

  % a)
  \item Facebook est ouvert ou il n’est pas ouvert. \hfill (.)
  % b)
  \item L’une ou l’autre est ouvert, ou les deux. \hfill (.)
  % c)
  \item L’une ou l’autre n’est pas ouvert. \hfill (.)
  % d)
  \item Facebook est ouvert alors que Instagram n’est pas ouvert. \hfill (.)
  % e)
  \item Ce n’est pas vrai que Facebook est ouvert. \hfill (.)
  % f)
  \item Instagram n’est pas ouvert. \hfill (.)
  % g)
  \item Facebook n’est pas ouvert ou Instagram est ouvert. \hfill (.)
  % h)
  \item Ni l’une ni l’autre n’est ouvert. \hfill (.)
  % i)
  \item Il s’avère que Instagram est ouvert. \hfill (.)
  % j)
  \item Facebook n’est pas ouvert et Instagram est ouvert ou vice-versa. \hfill (.)
  % k)
  \item Les deux sont ouverts ou les deux ne sont pas ouverts. \hfill (.)
  % l)
  \item Facebook n’est pas ouvert, mais Instagram est ouvert. \hfill (.)
  % m)
  \item Il est évident que Facebook est ouvert. \hfill (.)
  % n)
  \item Facebook est ouvert bien que Instagram soit ouvert. \hfill (.)
  % o)
  \item Facebook est ouvert à moins que Instagram ne soit pas ouvert. \hfill (.)
  % p)
  \item Facebook est ouvert et n’est pas ouvert. \hfill (.)

\end{enumerate}

\section*{Question 2.}

Faites la table de vérité des énoncés symboliques a) à l).

\begin{table}[ht]
  \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|c||*{6}{ X |}}
  \hline
  $p$ & $q$ & a) & b) & c) & d) & e) & f) \\ \hline \hline
  V   & V   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  V   & F   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  F   & V   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  F   & F   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  \end{tabularx}
\end{table}

\begin{table}[ht]
  \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|c||*{6}{ X |}}
  \hline
  $p$ & $q$ & g) & h) & i) & j) & k) & l) \\ \hline \hline
  V   & V   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  V   & F   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  F   & V   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  F   & F   &    &    &    &    &    &    \\ \hline
  \end{tabularx}
\end{table}

\section*{Question 3.}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
  % a)
  \item En utilisant le dictionnaire ci-dessous, formalisez les énoncés suivants :
  
  $p$ : Le réchauffement climatique s’accélère;

  $q$ : Les gouvernements sont immobiles.
  
  \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    % (1)
    \item Il est suffisant que le réchauffement climatique s’accélère pour que les gouvernements soient immobiles.
    
    \[\]

    % (2)
    \item Le réchauffement climatique s’accélère ou les gouvernements sont immobiles.
    
    \[\]

    % (3)
    \item Il est nécessaire que les gouvernements ne soient pas immobiles pour que le réchauffement climatique ne s’accélère pas.
    
    \[\]
    
    % (4)
    \item Le réchauffement climatique s’accélère si les gouvernements sont immobiles.

    \[\]
  \end{enumerate}
  
  % a)
  \item Faites la table de vérité des énoncés (1) à (4).

  \begin{table}[ht]
    \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|c||*{4}{ X |}}
    \hline
    $p$ & $q$ &  &  &  &  \\ \hline \hline
    V   & V   &  &  &  &  \\ \hline
    V   & F   &  &  &  &  \\ \hline
    F   & V   &  &  &  &  \\ \hline
    F   & F   &  &  &  &  \\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{table}
  
\end{enumerate}

% --------------------------------------------------------------
%     You don't have to mess with anything below this line.
% --------------------------------------------------------------
 
\end{document}
