Langage et logique : les connecteurs

Un argument :

Si je crois en Dieu, alors s’il existe, je gagne, mais s’il n’existe pas, je ne perds pas. Si, d’autre part, je ne crois pas en Dieu, alors si Dieu existe, je perds et sinon je ne gagne pas. Par conséquent, si je crois, alors je gagne ou, à tout le moins, je ne perds pas tandis que si je ne crois pas, je perds ou, au mieux, je n’y gagne pas.

(Pascal)

Rappel

Un argument est valide s’il est impossible que les prémisses soient vraies et que, en même temps, la conclusion fausse.

Un argument est invalide s’il n’est pas valide, c’est-à-dire s’il est possible que les prémisses soient vraies et, en même temps, la conclusion fausse.

Les formes logiques

La validité et l’invalidité d’un argument dépendent de sa forme logique.

Afin de capturer ces formes, nous devrons simplifier et abstraire du langage vernaculaire.

Nous devons faire un choix du niveau d’analyse approprié.

La logique propositionnelle

La logique propositionnelle examine les relations logiques entre les propositions, les énoncés déclaratifs.

Première distinction

Un énoncé déclaratif est un énoncé dans un langage donné, par exemple le français, qui exprime ou affirme quelque chose de vrai ou de faux.

Une proposition est ce qui peut être affirmé ou nié.

Exemples :

 Il n’y a pas de fenêtre dans le local G-815

et

 There is no window in room G-815

sont deux énoncés déclaratifs.

Ces deux énoncés expriment la même proposition. C’est le sens et les relations (chaînes) entre les éléments qui changent.

Autre notion qu’on peut retrouver : « calcul propositionnel ». (Dans ce cours, on essaiera de s’en tenir au terme « logique propositionnelle ».)

Deuxième distinction

Un énoncé déclaratif est une composante d’un autre énoncé si, lorsqu’on lui substitue un autre énoncé déclaratif, le résultat final a encore un sens.

Un énoncé déclaratif est complexe ou moléculaire s’il a une ou plusieurs composantes.

Un énoncé déclaratif est simple ou atomique s’il n’a aucune composante (au sens de la définition ci-dessus).

Analogie :

En chimie, une molécule est composée d’atomes liés par des liens covalence.

En logique, un énoncé composé comprend des énoncés simples (ou atomiques) liés par des liens logiques.

Exemples d’énoncés atomiques

• « Lucie est plus âgée que Pierre. »
• « Le professeur explique mal. »
• « Le corps est par nature divisible. »
• « La peine de mort réduit la criminalité. »
• « Jean prête un livre à Marie. »
• « Victoriaville est entre Montréal et Québec. »
• « Jean prête un livre à Marie. »

Exemples d’énoncés composés

Énoncés composés (ou complexes) : on peut remplacer un énoncé par un autre énoncé déclaratif et la structure demeure la même.

• « Si la peine de mort réduit la criminalité, alors elle est justifiée. »
  (« si… alors… »)
• « Lucie n’est pas plus âgée que Pierre. »
  (Présence de la négation : on peut enlever la négation et il reste un énoncé.)
• « Si c’est le cas que l’âme et le corps sont la même chose, alors l’âme est elle aussi divisible. »
• « Pierre est à la maison et Lucie est à la bibliothèque. »
  (Conjonction « et » qui forme un énoncé complexe.)

Connecteurs d’énoncés

Un connecteur d’énoncé est un mot ou une expression qui, lorsqu’il est joint à un ou des énoncés (atomiques ou moléculaires), donne un énoncé composé (ou complexe).

Les connecteurs qui forment un énoncé composé lorsqu’ils sont joints à seulement un énoncé sont appelés des connecteurs unaires; ceux qui joignent une paire d’énoncés sont appelés binaires.

Exemples (liste non exhaustive) :

• Connecteurs unaires (prennent 1 proposition) :
  • « Jean croit que [proposition] »
    (Connecteur : « Jean croit que ».)
  • « On doit conclure que »
  • « Ce n’est pas le cas que »
    (Négation.)
  • « Il est possible que »
  • « Marie rêve que… »
  • « Marie sait que… »
    (Logique épistémique.)
• Connecteurs binaires (prennent 2 propositions) :
  • « … et… »
    (conjonction)
  • « … ou… »
    (disjonction)
  • « si …, alors… »
  • « … à moins que »
  • « … si… »
  • « … seulement si… »
  • « … puisque… »
  • « … car… »

Connecteurs vérifonctionnels

Dans quelles conditions 2 expressions françaises qui désignent un connecteur seront-elles considérées comme un même connecteur?

Un connecteur est vérifonctionnel si et seulement si la valeur de vérité des énoncés liés par le connecteur détermine complètement la valeur de vérité de l’énoncé moléculaire formé par le connecteur.

Exemple : le connecteur « ne… pas » est vérifonctionnel (négation). Pourquoi? Pour déterminer la valeur de vérité de l’énoncé « Le Brésil n’est pas hispanophone », il suffit de savoir la valeur de vérité de l’énoncé « Le Brésil est hispanophone ».

(Une négation est vraie si l’énoncé qu’on a transformé en négation est faux.)

Exemple : Le connecteur « Jean croit que… » n’est pas vérifonctionnel. Pourquoi? Je ne peux déterminer la valeur de vérité de l’énoncé « Jean croit que le Brésil est hispanophone » à partir de la valeur de vérité de l’énoncé « Le Brésil est hispanophone ».

Connecteurs vérifonctionnels propositionnels

Les connecteurs vérifonctionnels propositionnels sont :

• Un connecteur unaire : « … ne… pas… »
• Les connecteurs binaires :
  • « et »
  • « ou »
  • « si… alors… »
  • « … si et seulement si… »
    (Mais on pourrait ne pas l’ajouter… vu plus loin.)

Il y a évidemment des variantes linguistiques. (Nous y reviendrons.)

Première abstraction et convention

Nous avons vu que le contenu, le sens des énoncés déclaratifs impliqués dans un argument peut être ignoré lorsque vient le moment d’examiner la forme logique d’un argument.

Nous allons donc remplacer systématiquement les énoncés déclaratifs dans les arguments par des noms abstraits. C’est notre premier dictionnaire ou notre première traduction du français vers le langage des formes logiques.

Dictionnaire français-LP

(La découverte de la perspective a changé la perspective, notre façon de contempler la profondeur.)

• En français : « Le vent souffle fort ».
  En LP : « p ».
• En français : « Les feuilles s’envolent ».
  En LP : « q ».
• En français : « C’est le mont Fuji. »
  En LP : « r ».

Le langage LP [Logique Propositionnelle]

Dans LP, ce qui nous intéresse, c’est la forme logique des énoncés déclaratifs ou, plus précisément, des propositions.

Le vocabulaire est par conséquent constitué d’énoncés simples fixes. Ces énoncés sont dénotés par les lettres p, q, r, etc.

Dans le langage LP, la valeur de vérité des énoncés moléculaires est totalement déterminée par la valeur de vérité des énoncés atomiques qui les composent. Ce langage est totalement vérifonctionnel, contrairement à la langue vernaculaire.

Connecteurs logiques de LP

Dans la LP, nous avons les connecteurs vérifonctionnels suivants¹ :

• Un connecteur unaire :
  • la négation : ¬, ~ ou !.
• Quatre connecteurs binaires :
  • La conjonction : ∧, . ou &.
  • La disjonction : ∨, + ou ∥.
  • L’implication : ⊃, → ou ⇒
  • Le biconditionnel : ≡, ↔ ou ⇔

La conjonction

En français : « Le vent souffle fort et les feuilles s’envolent ».
En LP : « p ».

Expressions de la conjonction en français

Les énoncés suivants contiennent une conjonction :

• « On parle le portugais au Brésil, mais l’espagnol en Argentine. »
• « On parle portugais au Brésil, alors qu’on parle l’espagnol en Argentine. »
• « On parle le portugais au Brésil, toutefois on parle l’espagnol en Argentine. »
• « On parle le portugais au Brésil, même si on parle l’espagnol en Argentine. »
• « On parle le portugais au Brésil, même si on parle l’espagnol en Argentine. »
• « On parle le portugais au Brésil, quoiqu’on parle l’espagnol en Argentine. »
• « On parle le portugais au Brésil, bien qu’on parle l’espagnol en Argentine. »

Traduction en LP

Tous ces énoncés seront traduits par des conjonctions en LP.

Pourquoi? Parce que chacun d’eux est vrai si et seulement si les deux énoncés qui les composent sont vrais.

En d’autres mots : si les énoncés qui les composent sont vrais, alors l’énoncé moléculaire l’est aussi; inversement, si l’énoncé moléculaire est vrai, alors les énoncés qui le composent sont vrais.

La conjonction : un connecteur vérifonctionnel

Un énoncé moléculaire est une conjonction précisément lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : si les composantes de l’énoncé sont vraies, alors l’énoncé est vrai; si l’énoncé est vrai, alors les composantes sont vraies.

Nous pouvons exprimer cette condition à l’aide de la table suivante (appelée table de vérité), la table de vérité de la conjonction :

4 possibilités des valeurs de vérité de la conjonction. La table montre comment la conjonction fonctionne.

Nuances de la conjonction en français

Considérons la phrase suivante :

Il était, quoique riche, à la justice enclin.

(Victor Hugo)

Cette phrase est vraie si et seulement si il est vrai que l’individu est riche et qu’il est enclin à la justice. C’est donc une conjonction logique.

L’utilisation du « quoique » plutôt que du « et » implique une opposition ou une concession.

Considérons la phrase suivante :

J’embrasse mon rival, mais c’est pour l’étouffer.

(Racine)

Cette phrase est vraie si et seulement si il est vrai que j’embrasse mon rival et que c’est pour l’étouffer. Il s’agit donc d’une conjonction logique.

Dans ce cas-ci, l’utilisation du « mais » indique une opposition, une idée contraire à celle qui a été énoncée.

Ces nuances sont perdues lors de la traduction en LP, car elles n’ont aucun impact sur la forme logique, qui est purement vérifonctionnelle.

Considérons les phrases suivantes :

• « Jean lave et essuie les chaudrons. »
• « Jean était et sera ici. »
• « Jean parle rapidement et fortement. »
• « Jean a mangé la pizza et les frites. »
• « Jean et Charles sont grands. »
  (Jean est grand et Charles est grand.)

Nous avons souvent en français des conjonctions « tronquées ». Nous avons, dans chaque cas, deux énoncés liés par une conjonction logique. Nous allons appeler de telles conjonctions, des conjonctions phrastiques.

Traduction des conjonctions du français en LP

Procédure générale :

1. Identifier le connecteur approprié dans la phrase.
2. Identifier les énoncés atomiques dans l’énoncé moléculaire ou les énoncés atomiques dans les conjonctions phrastiques.
3. Construire un dictionnaire du français au LP.
4. Effectuer la traduction.

Exemple de traduction :

Jean est au travail et Marie est à l’université.

Dictionnaire :

• p : Jean est au travail
• q : Marie est à l’université

Traduction :

p ∧ q

La conjonction phrastique

Jean, Marie, Charles et Stéphanie sont partis.

Dictionnaire :

• p : Jean est parti
• q : Marie est partie
• r : Charles est parti
• s : Stéphanie est partie

Traduction :

(((p ∧ q) ∧ r) ∧ s)

Une ambiguïté de la langue française

Considérez la phrase :

Jean et Pierre jouent au hockey.

Est-ce une conjonction phrastique?
C’est possible, mais pas nécessairement.

On peut vouloir dire ceci : que Jean et Pierre jouent au hockey ensemble (voire en ce moment). Je peux aussi vouloir dire que Jean joue au hockey, que Pierre joue au hockey, sans pour autant vouloir dire qu’ils jouent ensemble (conjonction phrastique, 2 phrases), ce qui est différent.

La conjonction temporelle

Le « et » peut être utilisé pour signifier une succession d’événements (ex. « et alors… »).

Considérez la phrase suivante :

Marie s’est mariée et elle est tombée enceinte.

S’agit-il d’une conjonction?
Notez que dans LP, l’ordre de p et q n’a aucune importance dans la table de vérité.

Parfois, en français, l’ordre des énoncés importe. Nous avons plutôt affaire à une suite d’événements et donc, l’ordre temporel est implicite.

La conjonction causale

Considérez la phrase suivante :

Le bébé a pleuré et le père a accouru.

Dans ce cas, l’ordre est important! Il y a une dimension causale implicite.

La négation

La négation s’exprime différentes manières en français.

Exemples :

• « Jean n’est pas au cours de logique. »
• « Il est faux que Jean est au cours de logique. »
• « Ce n’est pas vrai que Jean est au cours de logique. »

Soit la phrase :

L’homme qui est au centre porte un chapeau.

Nous la traduisons dans LP par

p

Alors, la phrase

L’homme qui est au centre ne porte pas de chapeau.

s’écrit dans LP de la manière suivante :

¬p

La négation

Un énoncé est une négation logique si et seulement si il a une composante telle que cette négation est vraie si et seulement si la composante est fausse.

La table de vérité de la négation :

La disjonction

Exemples de disjonction en français :

• Jean a mangé le gâteau ou Marie l’a mangé.
• En entrée, nous servons une soupe aux légumes ou une salade verte.
• Il pleut ou il ne pleut pas.
• Hilbert est né à Koenisberg ou à Berlin.
• Nous réduisons la production de gaz à effet de serre ou nous courrons tout droit vers la catastrophe.
• Samedi, nous allons voir des amis ou nous allons au cinéma.
• Il est interdit de fumer ou de manger dans cette salle.

Exemple :

Jean a mangé le gâteau ou Marie a mangé le gâteau.

Dictionnaire :

• p : Jean a mangé le gâteau
• q : Marie a mangé le gâteau

Traduction :

p ∨ q 

N.B. : Les deux énoncés ne s’excluent pas! Jean et Marie peuvent avoir tous les deux mangé le gâteau. C’est-à-dire que les deux énoncés peuvent être vrais en même temps. Il s’agit de la disjonction inclusive.

Exemple : en droit, on recours à l’utilisation du « et/ou » pour insister sur cette nuance de disjonction inclusive.

Table de vérité de la disjonction inclusive :

Note : le nombre de rangées ne peut jamais être impair.

La disjonction exclusive

En entrée, nous servons une soupe aux légumes ou une salade verte.

Dictionnaire :

• p : En entrée, nous servons une soupe aux légumes.
• q : En entrée, nous servons une salade verte.

En LP :

p ⊕ q

(Note : nous n’utiliserons plus ce symbole ⊕ puisque nous pouvons réécrire les énoncés à l’aide des autres connecteurs logiques.)

Dans ce cas, nous ne pouvons prendre les deux. En d’autres mots, les deux énoncés ne peuvent être vrais en même temps. C’est un ou l’autre.

Table de vérité de la disjonction exclusive

Par défaut, la disjonction de base en LP, c’est la disjonction inclusive.

Équivalence sans l’ ⊕ :

p ⊕ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

ou encore :

p ⊕ q (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

Note : si on utilise l’opérateur ⊕ dans un travail, il faut préalablement justifier qu’il s’agit d’une disjonction exclusive.

Nous pouvons définir la disjonction exclusive à l’aide de la disjonction inclusive, la conjonction et la négation. Nous n’avons donc pas vraiment besoin du symbole de la disjonction exclusive.

Il faut toujours s’assurer de bien identifier la disjonction qui est utilisée dans un argument en français.

Notes