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Tautologie, contradiction et validité

Objectifs

Pour ce faire, nous avons besoin :

Nous avons identifié certaines expressions du langage qui ont un rôle logique : la conjonction, la négation et la disjonction. (Nous n’avons pas fini…)

L’implication matérielle

Exemples d’implications matérielles en français :

L’implication est aussi appelée conditionnel matériel ou le conditionnel.

On se sert beaucoup du conditionnel pour des situations causales, mais ce n’est pas toujours le cas. C’est qu’il y a une concordance entre la relation causale et la représentation des concepts. Il faut être prudent lorsqu’on illustre la relation causale à l’aide du conditionnel. Il faut définir le type de connexion : entre des événements (relation causale) ou logique (relation purement conceptuelle).

Terminologie

Si le Canadien gagne contre Toronto, alors le Canadien fera les séries éliminatoires.

2 parties :

Table de vérité de l’implication

p q p ⊃ q Correspondance en français
V V V Le Canadien gagne et il fait les séries.
V F F Le Canadien gagne et il ne fait pas les séries. Il est légitime de conclure que l’implication est fausse.
F V V Le Canadien ne gagne pas. L’implication est-elle fausse? Non. Il faut lui donner une valeur de vérité. La seule valeur raisonnable de dire qu’elle est vraie.
F F V

Les deux dernières rangées sont étonnantes. Elles doivent être ainsi pour les distinguer de la disjonction (parce que sinon, ce serait la même table de vérité).

Comme dans le cas de l’exponentiation (ex. 20 = 1), c’est une sorte de convention théorique, mais qui apparaît en fin de compte nécessaire pour que tout le reste fonctionne (on n’a pas le choix). Les deux dernières rangées doivent avoir une valeur de vérité; la seule valeur raisonnable est de dire qu’elles sont vraies.

Ce n’est pas parce que l’antécédent est faux que la conclusion est fausse!

énoncés logiquement complexes

Interactions avec d’autres connecteurs.

Si le Canadien gagne ou si Toronto perd, alors Boston passe en séries éliminatoires.

Traduction correcte :

(p ∨ q) ⊃ r

Cet énoncé nous dit que l’énoncé est, dans sa totalité, une implication.

Il y a toujours une seule lecture possible lorsque l’énoncé est grammaticalement bien construit.

Arbre de décomposition :

   (p ∨ q) ⊃ r
      |
     / \
    /   \ 
(p ∨ q)  r
  / \
 p   q

Autre exemple :

Bien que l’oisiveté soit mères de tous les vices et que la luxure ne puisse naître de l’oisiveté, la luxure demeure un vice.

Traductions possibles :

(p ∧ ¬q) ⊃ r

(p ∧ ¬q) ∧ r

p ∧ (¬q ∧ r)

La 2e traduction est la plus grammaticalement correcte :

(p ∧ ¬q) ∧ r

Autre exemple :

Fisher a gagné le match, à moins que Spassky joue sa reine à G6.

q ⊃ ¬p

Il n’y aura plus de glace au pôle Nord en 2050, à moins que nous réduisions la production de gaz à effet de serre de 50% d’ici 2030.

q ⊃ ¬p

Tables de vérité d’énoncés logiquement complexes

Soit l’énoncé :

p ⊃ (¬q ∧ ¬r)

Marche à suivre :

  1. Identifier le connecteur principal : dans ce cas, c’est l’implication.
  2. Si les composantes de l’énoncé principal sont entre parenthèses, déterminer le connecteur principal à l’intérieur de ces parenthèses.
  3. Répéter le point 2 jusqu’à ce que les composantes soient des propositions atomiques ou la négation de propositions atomiques.
  4. Déterminer le nombre de lignes nécessaires pour la table : s’il y a n propositions atomiques, il doit y avoir 2n lignes.
  5. Déterminer le nombre de colonnes nécessaires : le nombre de propositions atomiques plus le nombre de connecteurs dans l’énoncé complexe.
  6. Commencer par les propositions atomiques. Construire la table à partir des énoncés les plus simples aux plus complexes.
p q r ¬q ¬r ¬q ∧ ¬r p ⊃ (¬q ∧ ¬r)
V V V F F F F
V V F F V F F
V F V V F F F
V F F V V V V
F V V F F F V
F V F F V F V
F F V V F F V
F F F V V V V

Nécessité et suffisance

Considérez les propositions suivantes :

Comment expliquer cette relation?

Deux possibilités :

  1. S’il y a du feu, alors il y a de l’oxygène
    p ⊃ q
  2. S’il y a de l’oxygène, alors il y a du feu
    q ⊃ p

On peut aussi dire :

  1. Il y a du feu seulement si il y a de l’oxygène.
  2. Il y a du feu uniquement si il y a de l’oxygène.
  3. Il y a du feu que si il y a de l’oxygène.

Note : c’est une implication et non le biconditionnel (« si et seulement si »).

Attention à ne pas confondre conditions nécessaires et conditions suffisantes!

Autre variation :

Les assurances remboursent le coût des objets volés seulement si les portes étaient barrées.

Ceci signifie que les portes soient barrées est une condition nécessaire pour obtenir un remboursement des assurances.

Deux traductions :

  1. Si les assurances remboursent le coût des objets volés, alors les portes étaient barrées.
    p ⊃ q
  2. Si les portes étaient barrées, alors les assurances remboursent le coût des objets volés.
    q ⊃ p

Autre exemple :

La consommation d’eau est impérative pour vivre.

Deux traductions possibles :

  1. Si un organisme demeure en vie, alors il consomme de l’eau.
    p ⊃ q (BONNE RéPONSE)
  2. Si un organisme consomme de l’eau, alors il demeure en vie.
    q ⊃ p

Exemple de condition suffisante : si le patient reçoit une trop forte dose d’insuline, le patient va mourir.

Autre exemple :

Pour qu’un argument soit probant, il doit d’abord être valide.

Deux traductions possibles :

  1. Si un argument est probant, alors il est valide p ⊃ q (BONNE RéPONSE)
  2. Si un argument est valide, alors il est probant : q ⊃ p

Autre exemple :

Pour être admis en médecine, la cote R doit être d’au moins 36.

Les conditions nécessaires sont toujours exprimées dans le conséquent d’une implication.

p ⊃ q : q exprime les conditions nécessaires.

Les conditions suffisantes sont toujours exprimées dans l’antécédent d’une implication.

p ⊃ q : p exprime les conditions suffisantes.

Mise en garde : il ne faut pas confondre « … seulement si… » et « … si… ».

Exemple :

  1. Il y a du feu si il y a de l’oxygène.
  2. Il y a du feu seulement si il y a de l’oxygène.

Certains énoncés expriment la nécessité et la suffisance en même temps.

Paraphrase de Kant :

La justice est ce qui est conforme au devoir.

Kant :

Un acte est juste s’il est conforme au devoir et seulement s’il est conforme au devoir.

Reformulation :

Un acte est juste si et seulement si il est conforme au devoir.

Exemple emprunté à Aristote :

L’être humain est un animal pensant.

Cette affirmation peut être interprétée comme une définition qui nous donne des conditions nécessaires et suffisantes : cet être est un être humain si et seulement si c’est un animal pensant.

Dans ce cas, pour qu’un être soit considéré comme un être humain, alors il est nécessaire que ce soit un animal et qu’il soit pensant.

Comme c’est aussi suffisant, si un être est un animal et qu’il est pensant, alors c’est un être humain.

Le biconditionnel

Le Canadien passera en séries éliminatoires si et seulement si Toronto perd contre Boston.

p q p ≡ q
V V V
V F F
F V F
F F V

Le biconditionnel est une double implication.

Le biconditionnel est équivalent à deux implications :

(p ≡ q) ≡ (p ⊃ q) ∧ (q ⊃ q)

Le langage LP

Nous avons maintenant tous les éléments, toutes les composantes pour décrire notre langage.

Il ne faut pas perdre de vue la fonction, le rôle de ce langage : décrire toutes les formes d’argument possibles lorsque l’unité d’analyse est l’énoncé déclaratif ou la proposition.

Nous devons maintenant donner les règles de grammaire de cette langue.

Tout langage comprend une syntaxe et une sémantique. La syntaxe d’un langage comprend les règles pour construire les mots et les règles pour construire les phrases. La sémantique d’un langage comprend les règles pour construire la signification, la référence et la valeur de vérité des phrases. La sémantique de notre langage est très pauvre (se résumant essentiellement à des valeurs de vérité de type vrai-faux).

La syntaxe de LP

Les symboles de LP sont :

  1. Les lettres propositionnelles p, q, r, …;
  2. Les connecteurs logiques : ¬, ∧, ∨, ⊃, ≡;
  3. Les parenthèses (ponctuation).

Une formule de LP est simplement une suite de symboles de LP.

Exemple de formules :

  1. ∧∨p¬((
  2. ¬(p ⊃ q)

La première formule n’est pas une expression de LP, elle ne peut exprimer quelque chose, alors que la deuxième l’est. Il faut introduire une distinction entre les deux.

Les formules bien formées (fbfs) de LP sont les suivantes :

  1. Toute lettre propositionnelle est une fbf; suivie d’une fbf, suivie d’une parenthèse à droite est une fbf;
  2. Une fbf précédée du symbole de négation est une fbf;
  3. Une parenthèse à gauche, suivie d’une fbf, suivie d’un connecteur binaire, suivi d’une fbf, suivi d’une parenthèse à droite est une fbf;
  4. Seules les formules qui sont construites à l’aide des trois règles précédentes sont des fbfs.

Exemples :

  1. La formule p ∨ r ⊃ p n’est pas une fbf.
  2. La formule ((p ∨ r) ⊃ p) est une fbf; la formule (p ∨ (r ⊃ p)) l’est aussi.
  3. La formule ¬s est une fbf; ¬¬¬s l’est aussi (on ne conclura cependant pas tout de suite que ces deux formules sont nécessairement pareilles).

On s’intéresse ici strictement à la syntaxe, donc aux symboles.

Les arguments dans LP

Les arguments dans LP peuvent être présentés comme nous le faisons pour les formes standards en français.

Soit p, q des propositions de LP. Nous avons l’argument suivant :

1. p ⊃ q
2. p
------
C. q

Autre convention: p ⊃ q, p ∴ q. ∴ est le symbole de la conclusion.

Cet argument a la même forme que l’argument suivant :

p ⊃ q, q ∴ q

Convention

Pour désigner une fbf arbitraire de LP, nous allons employer les lettres majuscules A, B, C, …

Les formules bien formées de LP sont les suivantes :

  1. Toute lettre propositionnelle p, q, r, … est une fbf;
  2. Si A est une fbf, alors ¬A est une fbf;
  3. Si A et B sont des fbfs, alors (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⊃ B) et (A ≡ B) sont des fbfs;
  4. Seules les formules qui sont construites à l’aide des trois règles précédentes sont des fbfs.