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La méthode des arbres (suite)

Note : lorsqu’une branche reste ouverte, doit-on compléter l’arbre?
À ce moment-ci, il est préférable de compléter l’arbre.

S’il faut donner un contre-exemple, il faut faire un arbre plus complet pour donner des valeurs pour lesquels le système est satisfait.

Conventions terminologique

Lorsque nous employons la méthode des arbres pour tester la validité d’un argument et que la méthode nous indique que l’argument est invalide, les valeurs de vérité attribuées aux propositions dans une branche ouverte constituent ce qu’on appelle un contre-exemple.

Un autre exemple

L’argument :

1. p ⊃ q
2. r ⊃ ¬q
------
C. ¬¬p ⊃ ¬r

Toutes les branches de cet arbre ferment; l’argument est donc valide.

Tautologie

Tester une tautologie, c’est comme s’il n’y a pas de prémisses.

Une tautologie est toujours vraie. Donc, sa négation est toujours fausse. Elle ne peut être satisfaite. Par conséquent, l’arbre de la négation d’une tautologie est fermé.

¬ (p ⊃ (q ⊃ p))

L’arbre de la négation d’une tautologie est toujours fermé.

(Arbre fermé à 1 seule branche; tautologie.)

En somme, les arbres servent à faire 3 choses :

La méthode de déduction naturelle

Logique et raisonnement

Nous raisonnons en français (N.B. les études montrent clairement que les humains raisonnent plus facilement sur des sujets qu’ils connaissent déjà bien. L’abstraction est difficile…)

Les prochaines notions vues dans ce cours s’apprennent par la pratique et demanderont un investissement personnel (de faire les exercices).

Lorsqu’on raisonne à partir de la conjonction ou de la disjonction par exemple, on fait quelque chose.

Il y a deux niveaux de travail : le niveau de la clarté de la langue (écrire clairement en français) et la clarté de l’argumentation (niveau complexe, comment on construit un argument).

La compréhension de ces notions pourra être très utile pour construire des arguments.

Exemple :

Si l’âme est observable, elle doit être réelle. Donc, vous devez reconnaître que l’âme est une entité, puisque vous acceptez que si elle est réelle, alors c’est une entité.

Dictionnaire :

En forme standard :

1. p ⊃ q
2. q ⊃ r
3. p
------
3. r

Raisonnement à partir des règles qu’on connaît :

Supposons que p implique q et supposons que q implique r. Or, p est vrai. Donc, par modus ponens, je peux conclure que p est vraie. Maintenant, puisque q est vraie et que q ⊃ r, par modus ponens, r est vrai.

Objectif : traduire ce langage en logique propositionnelle et le représenter avec une notation conventionnelle; reproduire l’argument par une méthode standard, dans un langage logique.

Si les nombres étaient des idées, alors l’arithmétique serait une branche de la psychologie. Mais l’arithmétique n’appartient pas plus à la psychologie que l’astronomie. L’objet de l’astronomie n’est pas l’idée de planète, mais les planètes elles-mêmes et, de même, l’arithmétique ne traite pas des idées.

(G. Frege, Les fondements de l’arithmétique)

Dictionnaire :

Traduction en LP :

p ⊃ q
¬ q

(Pas terminé)

Un autre argument :

1. Si un argument est probant, alors il est valide.
2. Si un argument est valide, alors on doit accepter sa conclusion.
------
C. Donc, si un argument est probant, on doit accepter sa conclusion.

Dictionnaire :

La déduction naturelle

Un système de déduction naturelle est une ensemble de règles d’inférences qui nous permettent de déduire des propositions à partir d’un ensemble de propositions.

Une démonstration hypothétique est une démonstration qui repose sur des prémisses (que l’on appelle également des hypothèses).

Une démonstration est catégorique si elle ne dépend d’aucune prémisse.

Une démonstration (ou preuve) en déduction naturelle est une suite de lignes. Sur chacune de ces lignes apparaît une proposition.

Chaque proposition dans une démonstration est soit a) une prémisse ou b) est obtenue des lignes précédentes par une règle d’inférence.

Les règles pour construire un argument sont élémentaires; n’importe qui qui connaît ces règles devrait être en mesure de vérifier si un argument est bien construit. On n’a pas besoin de faire appel à une forme d’intuition ou de connaissance supérieure pour comprendre la logique d’un argument (si un argument est recevable); cette méthode est accessible à tout le monde (en connaissant les règles élémentaires).

Conclusion : la dernière ligne d’une démonstration est la conclusion; la démonstration prouve cette proposition à partir des prémisses.

Les conclusions établies sans prémisses sont des théorèmes (tautologies) (cette phrase est à prendre pour ce qu’elle est; nous ne la démontrerons pas ici).

Notation

A1, A2, …, An ⊢ A.

: il existe une démonstration telle que A.

Forme générale de la déduction naturelle :

Forme générale de la déduction naturelle

Les règles de l’hygiène argumentative

Première règle : il est permis de se répéter

Il est primordial d’être clair.

(Les règles du jeu de go sont très simples, mais mises ensemble, elles deviennent très complexes.)

Première règle

Deuxième règle : il est permis d’introduire des hypothèses à n’importe quel moment de la déduction

(Il est parfois utile de partir d’en bas.)

Mise en garde : il est permis de répéter des hypothèses de gauche à droite seulement.

Mise en garde : il n’est permis de se répéter que de gauche à droite

Deuxième règle

Troisième règle : modus ponens ou l’élimination de l’implication

Astuce : commencer en écrivant la démonstration à la fin.

Dans la déduction naturelle, on ne s’intéresse pas aux tables de vérité; on travaille purement sur la syntaxe (la forme).

Règle de l’élimination de l’implication

Exemple d’élimination de l’implication :

Exemple d’élimination de l’implication

Quatrième règle : introduction de l’implication

Introduction de l’implication

Si la concentration de CO2 dans l’atmosphère augmente au-delà de n ppm, alors la température à la surface de la Terre augmentera de m °C.

Nous voulons démontrer une implication, une proposition de la forme A ⊃ B.

Il semble alors naturel de supposer A en hypothèse et, ensuite, à l’aide de raisonnements, de démontrer B.

Quand on veut introduire une implication, on prouve le conséquent.

On travaille beaucoup par essais et erreurs (c’est normal de ne pas y arriver du premier coup).

(Exemples)

Cinquième règle : introduction de la conjonction

Règle de l’introduction de la conjonction

Si j’ai A et que j’ai B, alors je peux déduire la conjonction A ∧ B (car j’ai les deux).

La conjonction est naturellement transparente.

Sixième règle : élimination de la conjonction

Règle de l’élimination de la conjonction

Exemples

Exemple de démonstration avec l’implication :

Exemple de démonstration avec l’implication

Exemple de démonstration avec la conjonction :

Exemple de démonstration avec la conjonction