Logique du premier ordre : grammaire, sémantique et validité (suite)
Règle du quantificateur existentiel (suite)
Exemple 4 : les cétacés mammifères aquatiques
Soit l’argument suivant :
1. Tous les cétacés sont des mammifères.
2. Certains mammifères sont aquatiques.
------
C. Tous les cétacés sont aquatiques.
L’arbre :
Les énoncés atomiques vrais dans une branche :
¬Ca
Mb
¬Bb
Cb
Ba
Ma
(∀x)(Cx ⊃ Mx)
(∃x)(Mx ∧ Bx
Un modèle qui invalide l’argument
Exercice
Nous avons démontré que l’argument est invalide.
Il doit être possible d remplacer les prémisses par des affirmations en français sont manifestement fausses, de remplacer la conclusion par une affirmation qui est manifestement fausse de telle sorte que la forme des énoncés soit respectée.
L’argument original :
1. Tous les cétacés sont des mammifères.
2. Tous les cétacés sont aquatiques.
------
C. Tous les cétacés sont aquatiques.
Le nouvel argument ayant la même forme :
1. Tous les êtres humains sont des mammifères.
2. Tous les mammifères sont mortels.
------
C. Tous les êtres humains sont mortels.
Négation du quantificateur existentiel
Exemple 5 : les animaux, les humains et les philosophes
Soit l’argument suivant :
1. Tous les humains sont des animaux.
2. Certains humains sont des philosophes.
------
3. Certains animaux sont des philosophes.
Dictionnaire :
H(x)
: «x
est un humain »;A(x)
: «x
est un animal »;P(x)
: «x
est un philosophe ».
1. ∀x (H(x) ⊃ A(x))
2. ∃x (H(x) ∧ P(x))
------
C. (∃x)(A(x) ∧ P(x))
L’arbre :
Les limites de la LPOM
Considérez les énoncés suivants :
- Pierre est plus grand que Marie.
- La chaise est à gauche de la table.
- Platon est le plus grand philosophe.
- Jean est assis entre Pierre et Marie.
- Tout le monde aime quelqu’un.
- Quelqu’un aime tout le monde.
- Jacques préfère la vanille au chocolat.
Dans ces énoncés, nous n’attribuons pas une propriété à des objets. La traduction des énoncés dans LPOM n’est pas fidèle à leur contenu logique.
Ces énoncés sont plus complexes que ceux qui ont été vus jusqu’ici dans le cours.
Nous affirmons l’existence de certaines relations entre des objets.
Enrichir LPOM pour obtenir LPO
Nous allons introduire une nouvelle classe de symboles dans le langage : des symboles de relations Rxy
, Qxyz
, Sxy
, etc.
Nous ajoutons donc la classe des formules atomiques bien formées, les formules de la forme Rxy
, Rab
, Rab
, Rxa
, etc. Où R
est un symbole de relation binaire, x
, y
sont des variables, a
, b
sont des symboles de constantes (des noms d’objets).
En enrichissant le langage de la sorte, nous obtenons logique du premier ordre à proprement parler (LPO).
Exemples de traductions en LPO
Dictionnaire :
j
: Jean;p
: Paul;Gxy
:x
est plus grand quey
.
Jean est plus grand que Paul.
Traduction :
Gjp ou G(j, p)
Paul est plus grand que Jean.
Même dictionnaire.
Traduction :
Gpj ou G(p, j)
Il y a une personne qui est plus grande que Jean.
Même dictionnaire.
Traduction :
(∃x) Gxj
Il y a une personne qui est plus grande que toutes les autres.
Même dictionnaire.
Traduction :
(∃x)(∀y)Gxy
Il y a une personne qui n’est pas plus grande que les autres.
Même dictionnaire.
Traduction :
(∃x)(∀y)¬Gxy
Tout le monde est plus grand que quelqu’un.
Même dictionnaire.
Traduction :
(∀x)(∃y)Gxy
Pierre préfère La République à Critique de la raison pure, bien qu’il n’en ait lu aucun des deux.
Dictionnaire :
p
: Pierre;b
: La République;c
: Critique de la raison pure;Pxyz
:x
préfèrey
àz
;Lxy
:x
a luy
.
Traduction en LPO :
Pabc ∧ (¬Lab ∧ ¬Lac)
Si Marie est plus petite que Jean, alors on peut inférer qu’il y a quelqu’un qui est plus petit que Jean.
Dictionnaire :
a
: Marie;b
: Jean;Pxy
:x est plus petit que y
.
Traduction :
Pab ⊃ (∃x)(Pxb)
Il y a des gens qui possèdent un chien qui sont plus heureux que ceux qui n’en possèdent pas.
Cx
:x
possède un chien;Hxy
:x
est plus heureux quey
.
(∃x)(Cx ∧ (∀y)(¬Cy)(⊃ Hxy))
Tout le monde aime quelqu’un.
Dictionnaire :
Axy
:x
aimey
.
Traduction :
(∀x)(∃y)Axy
Il y a quelqu’un qui aime tout le monde.
Dictionnaire :
Axy
:x
aimey
.
Traduction :
(∃x)(∀y)Axy
N.B. L’ordre des quantificateurs modifie totalement le sens d’une proposition!
Représentation visuelle d’une relation
Les relations occupent une place centrale, voire fondamentale, dans le monde.
Un ensemble d’objets possède une structure si et seulement si il existe un ensemble de relations entre ces objets.
Un système est un ensemble d’objets qui possède une structure interne, c’est-à-dire entre ses composantes, et une structure externe, c’est-à-dire entre ces composantes et les objets externes avec lesquels le système est en relation.
Du point de vue de l’extension, une relation binaire se résume à l’ensemble des couples ou des paires d’objets qui satisfont cette situation.
Exemples :
- Supposons que je parle des étudiants dans cette classe. Je les nomme
a
,b
,c
, etc. - Supposons que je m’intéresse à la relation
Axy
: «x
est l’ami Facebook dey
». - Je peux faire la liste des paires d’individus qui satisfont cette relation dans cette classe.
- J’obtiens ainsi une liste de paires :
<a, b>
,<a, c>
,<b, d>
, etc. - Il est possible de représenter ces paires à l’aide de flèches entre les points représentant les objets. (N.B. À toute relation binaire correspond une représentation de ce type.)
Une situation abstraite
Une relation : Axy
Les propositions suivantes sont vraies :
Aac
,Aca
,Abc
,Abb
.- Aussi :
¬Acb
,¬Aba
,¬Aab
. - Aussi :
(Aac ∧ ¬Acb)
,(Acb ⊃ Aba)
.
Que pouvons-nous dire des propositions suivantes?
(∀x)Axx
: faux(∃x)Axb
: vrai(∃x)Acx
: vrai(∀x)Axc
: faux(∃x)Axc ⊃ (∀x)Aax
: faux(∀x)(∃y)Axy
: vrai(∀x)(∃y)Ayx
: vrai(∃x)(∀y)Axy
: faux
Une autre situation abstraite
Les propositions suivantes sont-elles vraies?
(∀x)Axa
: faux(∀x)Axx ∧ ¬(∀x)Axb
: vrai(∀x)(∃y)(Axy)
: vrai(∃x)(∀y)(Axy)
: vrai (c
)