(dernière modification : )

Logique du premier ordre : grammaire, sémantique et validité (suite)

Règle du quantificateur existentiel (suite)

Exemple 4 : les cétacés mammifères aquatiques

Soit l’argument suivant :

1. Tous les cétacés sont des mammifères.
2. Certains mammifères sont aquatiques.
------
C. Tous les cétacés sont aquatiques.

L’arbre :

Arbre exemple 4

Les énoncés atomiques vrais dans une branche :

Un modèle qui invalide l’argument

Diagramme exemple 4

Exercice

Nous avons démontré que l’argument est invalide.

Il doit être possible d remplacer les prémisses par des affirmations en français sont manifestement fausses, de remplacer la conclusion par une affirmation qui est manifestement fausse de telle sorte que la forme des énoncés soit respectée.

L’argument original :

1. Tous les cétacés sont des mammifères.
2. Tous les cétacés sont aquatiques.
------
C. Tous les cétacés sont aquatiques.

Le nouvel argument ayant la même forme :

1. Tous les êtres humains sont des mammifères.
2. Tous les mammifères sont mortels.
------
C. Tous les êtres humains sont mortels.

Négation du quantificateur existentiel

Exemple 5 : les animaux, les humains et les philosophes

Soit l’argument suivant :

1. Tous les humains sont des animaux.
2. Certains humains sont des philosophes.
------
3. Certains animaux sont des philosophes.

Dictionnaire :

L’arbre :

Arbre de l’exemple 5

Les limites de la LPOM

Considérez les énoncés suivants :

  1. Pierre est plus grand que Marie.
  2. La chaise est à gauche de la table.
  3. Platon est le plus grand philosophe.
  4. Jean est assis entre Pierre et Marie.
  5. Tout le monde aime quelqu’un.
  6. Quelqu’un aime tout le monde.
  7. Jacques préfère la vanille au chocolat.

Dans ces énoncés, nous n’attribuons pas une propriété à des objets. La traduction des énoncés dans LPOM n’est pas fidèle à leur contenu logique.

Ces énoncés sont plus complexes que ceux qui ont été vus jusqu’ici dans le cours.

Nous affirmons l’existence de certaines relations entre des objets.

Enrichir LPOM pour obtenir LPO

Nous allons introduire une nouvelle classe de symboles dans le langage : des symboles de relations Rxy, Qxyz, Sxy, etc.

Nous ajoutons donc la classe des formules atomiques bien formées, les formules de la forme Rxy, Rab, Rab, Rxa, etc. Où R est un symbole de relation binaire, x, y sont des variables, a, b sont des symboles de constantes (des noms d’objets).

En enrichissant le langage de la sorte, nous obtenons logique du premier ordre à proprement parler (LPO).

Exemples de traductions en LPO

Dictionnaire :

Jean est plus grand que Paul.

Traduction :

Gjp ou G(j, p)

Paul est plus grand que Jean.

Même dictionnaire.

Traduction :

Gpj ou G(p, j)

Il y a une personne qui est plus grande que Jean.

Même dictionnaire.

Traduction :

(∃x) Gxj

Il y a une personne qui est plus grande que toutes les autres.

Même dictionnaire.

Traduction :

(∃x)(∀y)Gxy

Il y a une personne qui n’est pas plus grande que les autres.

Même dictionnaire.

Traduction :

(∃x)(∀y)¬Gxy

Tout le monde est plus grand que quelqu’un.

Même dictionnaire.

Traduction :

(∀x)(∃y)Gxy

Pierre préfère La République à Critique de la raison pure, bien qu’il n’en ait lu aucun des deux.

Dictionnaire :

Traduction en LPO :

Pabc ∧ (¬Lab ∧ ¬Lac)

Si Marie est plus petite que Jean, alors on peut inférer qu’il y a quelqu’un qui est plus petit que Jean.

Dictionnaire :

Traduction :

Pab ⊃ (∃x)(Pxb)

Il y a des gens qui possèdent un chien qui sont plus heureux que ceux qui n’en possèdent pas.


Tout le monde aime quelqu’un.

Dictionnaire :

Traduction :

(∀x)(∃y)Axy

Il y a quelqu’un qui aime tout le monde.

Dictionnaire :

Traduction :

(∃x)(∀y)Axy

N.B. L’ordre des quantificateurs modifie totalement le sens d’une proposition!

Représentation visuelle d’une relation

Les relations occupent une place centrale, voire fondamentale, dans le monde.

Un ensemble d’objets possède une structure si et seulement si il existe un ensemble de relations entre ces objets.

Un système est un ensemble d’objets qui possède une structure interne, c’est-à-dire entre ses composantes, et une structure externe, c’est-à-dire entre ces composantes et les objets externes avec lesquels le système est en relation.

Du point de vue de l’extension, une relation binaire se résume à l’ensemble des couples ou des paires d’objets qui satisfont cette situation.

Exemples :

Exemple de relation

Une situation abstraite

Schéma pour une relation Axy

Une relation : Axy

Les propositions suivantes sont vraies :

Que pouvons-nous dire des propositions suivantes?

Une autre situation abstraite

Autre schéma pour une relation Axy

Les propositions suivantes sont-elles vraies?

Exemple : arbre

Exemple d’arbre avec le quantificateur existentiel